Спасибо за регистрацию! Проверьте почту test@test.com и перейдите по ссылке письма.

Числовые и алгебраические выражения


Другие видеоуроки по школьной программе смотрите на InternetUrok.ru

1. Решение числовых выражений

Числовые выражения – это те выражения, которые составлены из чисел и знаков арифметических операций – сложения, вычитания, умножения, деления.

Пример 1

.

Это числовое выражение, которое необходимо упрощать.

Рассмотрим ещё несколько примеров числовых выражений.

Пример 2

,

,

.

При замене некоторых чисел буквами образуется алгебраическое выражение. При замене двух чисел буквой получается выражение . Первое слагаемое – это , второе слагаемое – это . В результате образуется алгебраическое выражение. В этом алгебраическом выражении буквенные переменные (так как они могут принимать разные значения) обозначают различные числа. Числа могут быть целыми, дробными, положительными, отрицательными. Таким образом, алгебраические выражения базируются на работе с числовыми выражениями.

Правило: от перемены мест слагаемых сумма не меняется – справедливо для чисел 4 и 5, для чисел 6 и 1. Если обобщить этот закон для всех чисел, то его можно записать в алгебраическом виде: обозначим первое слагаемое -  , второе – . В результате получаем:

.

Значит данное правило применимо для алгебраических выражений.

2. Решение простых алгебраических выражений

Пример 2

,

,

.

При замене некоторых чисел буквами образуется алгебраическое выражение. При замене двух чисел буквой получается выражение . Первое слагаемое – это , второе слагаемое – это . В результате образуется алгебраическое выражение. В этом алгебраическом выражении буквенные переменные (так как они могут принимать разные значения) обозначают различные числа. Числа могут быть целыми, дробными, положительными, отрицательными. Таким образом, алгебраические выражения базируются на работе с числовыми выражениями.

Правило: от перемены мест слагаемых сумма не меняется – справедливо для чисел 4 и 5, для чисел 6 и 1. Если обобщить этот закон для всех чисел, то его можно записать в алгебраическом виде: обозначим первое слагаемое -  , второе – . В результате получаем:

.

Значит данное правило применимо для алгебраических выражений.

Получаем, что для алгебраических выражений числовые выражения являются частным случаем. Поэтому действия с числовыми выражениями применимы и к алгебраическим выражениям. Рассмотрим несколько примеров на числовые выражения.

Пример 3

.

Решение:

Проведем группировку: сложим первое число с третьим, а второе с четвертым.

.

В результате получаем:

.

Ответ: .

3. Примеры решения алгебраических выражений при заданных значениях переменных

Пример 4

Найти значение выражения  при.

Решение:

Это выражение является алгебраическим. В данном случае число  и число  – буквенные переменные, которые могут принимать любые значения. Значит, необходимо вычислить данное алгебраическое выражение при некоторых, конкретных заданных значениях буквенных переменных – это одна из стандартных задач для алгебраических выражений.

Подставим значения переменных, получим числовое выражение и вычислим его.

1) .

Ответ: .

2) Поступаем аналогично, подставляя вместо буквенных переменных их численные значения: .

Ответ: .

3) Аналогично: .

Ответ: .

4. Примеры решения числовых выражений преобразованием в алгебраические

Повторим основные действия с числовыми выражениями для дальнейшего решения алгебраических примеров.

Пример 5

Найти значение выражения:

Решение:

Обозначим все, что стоит в первой скобке за  (буквенная переменная состоит из конкретных числовых данных). Второе выражение обозначим за , а все, что стоит в знаменателе, обозначим за .

Все искомое выражение обозначим за .

Для вычисления , необходимо сначала вычислить , разделить его на  и разделить на :

Перегруппируем слагаемые в выражении :

.

Найдем значение второй скобки:

.

Вычислим значение :

.

Найдем значение начального выражения:

 

Ответ: .

При решении мы пользовались правилами порядка арифметических действий, а также правилами: от перемены мест слагаемых сумма не меняется (); от перемены мест множителей произведение не меняется (.

5. Примеры на нахождение допустимых и недопустимых значений переменных

Особенностью алгебраического выражения является то, что не всегда буквы могут принимать произвольное значение. Есть такое понятие – допустимые значения букв и недопустимые значения букв. Рассмотрим на конкретном примере:

Пример 6

Найти допустимые и недопустимые значения :  

Решение:

Данное выражение является арифметическим. В соответствии с алгебраическими законами данное выражение не имеет недопустимых значений, так как любое число можно возвести в квадрат.

Ответ:  – любое.

Пример 7

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения.

Решение:

Так как на ноль делить нельзя (а на остальные числа можно), то допустимыми значениями  являются любые числа, кроме .

Ответ: .

Пример 8

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения .

Решение:

Для решения опять необходимо учесть, что знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

.

Ответ:.

Пример 9

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения .

Решение:

Знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

Ответ: .

Пример 10

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения .

Решение:

Знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

Ответ:.

Необходимо запомнить, что если выражение стоит в знаменателе, то оно не должно быть равно . Это накладывает определенные ограничения на значения буквенной переменной. Рассмотрим ещё один пример на нахождение допустимых и недопустимых значений переменной.

Пример 11    

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения: .

Решение:

Знаменатель не должен быть равен :

Значит:  или .

Ответ:.

Мы рассмотрели числовые и буквенные выражения. Кроме того, мы рассмотрели связь между числовыми и буквенными выражениями. Также на данном уроке были озвучены правила работы с арифметическими выражениями, которые остаются верны и для алгебраических.

На следующем уроке мы повторим правила работы с числовыми выражениями и с натуральными числами.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ  

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

 

Источник: http://interneturok.ru

Просмотров: 7398

Пройти тест по уроку

Интересные факты

Алгебраические дроби
Взаимное расположение графиков линейных функций
Координатная плоскость. Терминология
Координатная прямая
Линейная функция и ее график
Линейная функция и ее график
Линейное уравнение с двумя переменными и его график (более сложные случаи)
Линейное уравнение с одной переменной
Метод алгебраического сложения
Метод подстановки
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Сложение и вычитание многочленов
Степень с нулевым показателем
Умножение двучленов. Типовые задачи
Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии
Умножение степеней с одинаковыми основаниями
Умножение трёхчленов. Типовые задачи
Формулы сокращённого умножения
Функция y=x2 и её график
Числовые и алгебраические выражения
Что означает в математике запись y=f(x)
Что такое степень с натуральным показателем